Последовательность чисел – это числовой ряд.
Последовательности могут быть конечными и бесконечными.
Последовательность четных положительных чисел 2;4;6;8;10;… бесконечна.
Последовательность двузначных чисел 10;11;12;13;… конечна (последнее число 99).
Числа, образующие последовательность, называются членами последовательности.
Умножение на 22,33,…,99
Чтобы двузначное число умножить на 22,33,…, 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 33 = 3 х 11; 44 = 4 х 11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11.
Примеры:
18 х 44 = 18 х 4 х 11 = 72 х 11 = 792;
42 х 22 = 42 х 2 х 11 = 84 х 11 = 924;
13 х 55 = 13 х 5 х 11 = 65 х 11 = 715;
24 х 99 = 24 х 9 х 11 = 216 х 11 = 2376.
Умножение на число 111, 1111 и т. д., зная правила умножения двузначного числа на число 11.
Если сумма цифр первого множителя меньше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа на 2, 3 и т.д. шага, сложить цифры и записать соответствующее количество раз их сумму между раздвинутыми цифрами. Количество шагов всегда меньше количества единиц на 1.
Пример:
24х111=2(2+4) (2+4)4=2664 (количество шагов - 2)
24х1111=2(2+4)(2+4)(2+4)4=26664 (количество шагов - 3)
При умножении числа 72 на 111111 цифры 7 и 2 надо раздвинуть на 5 шагов. Эти вычисления можно легко произвести в уме.
42 х 111 111 = 4 (4+2) (4+2) (4+2) (4+2) (4+2) 2 = 4666662. (количество шагов – 5)
Если единиц 6, то шагов будет 1 меньше, то есть 5.
Если единиц 7, то шагов будет 6 и т.д.
Умножение двузначного числа на 111, 1111, 1111 и т.д., сумма цифр которого равна или больше 10.
Немного сложнее выполнить устное умножение, если сумма цифр первого множителя равна 10 или более 10.
Примеры:
86 х 111 = 8 (8+6) (8+6) 6 = 8 (14) (14) 6 = (8+1) (4+1) 46 = 9546.
В этом случае надо к первой цифре 8 прибавить 1, получим 9, далее 4+1 = 5; а последние цифры 4 и 6 оставляем без изменения. Получаем ответ 9546.
Умножение двузначного числа на 101, 1001 и т.д..
Пожалуй, самое простое правило: припишите ваше число к самому себе. Умножение закончено. Пример:
32 х 101 = 3232; 47 х 101 = 4747;
324 х 1001 = 324 324; 675 х 1001 = 675 675;
6478 х 10001 = 64786478;
846932 х 1000001 = 846932846932.
Умножение на 37
Прежде чем научиться устно умножать на 37,надо хорошо знать признак делимости и таблицу умножения на 3. Чтобы устно умножить число на 37, надо это число разделить на 3 и умножить на 111.
Примеры:
24 х 37 = (24 : 3) х 37 х 3 = 8 х 111 = 888;
18 х 37 = (18 : 3) х 111 = 6 х 111 = 666.
Алгоритм перемножения двузначных чисел, близких к 100
Например: 98 х 97 = 9506
2 3
Здесь пользуемся таким алгоритмом: если хочешь перемножить два
двузначных числа, близких к 100, то поступай так:
1) найди недостатки сомножителей до сотни;
2) вычти из одного сомножителя недостаток второго до сотни;
3) к результату припиши двумя цифрами произведение недостатков
сомножителей до сотни.
Умножение трёхзначного числа на 999.
Любопытная особенность числа 999 проявляется при умножении на него всякого другого трёхзначного числа. Тогда получается шестизначное произведение: первые три цифры есть умножаемое число, только уменьшенное на единицу, а остальные три цифры (кроме последней) – «дополнения» первых до 9. Например:
385 * 999 = 384615
573 * 999 = 572427 943 * 999 = 942057
Задача: Васе, Свете и Роме предложили найти значения произведений.
20*4 60*7 30*9
При выполнении задания Вася, Света и Рома предложили такие способы.
Вася сказал, что можно рассмотреть такой вариант.
20*4=(10*2)*4=10*(2*4)=10*8=80
Света рассуждала так.
Мы знаем о том, что 2*4=8, но у нас первый множитель не 2, а 2 десятка, значит, если 2 дес.*4=8 дес., следовательно, 20*4=80
Рома предложил свой способ.
20*4=(10+10)*4=10*4+10*4=40+40=80
Какой способ вам кажется наиболее удобным?
Обратите внимание на способ, который предложила Света. Он кажется наиболее рациональным. Как вы думаете, почему?
Если вы затрудняетесь ответить, проведите наблюдение, решите остальные примеры разными способами.
60*7 30*9
Если использовать способ, который предложил Вася, решение будет выглядеть так.
60*7= (10*6)*7=10* (6*7)=10*42=420
30*9= (10*3)*9=10* (3*9)=10*27=270
Рома решил бы так.
Преимущество способа, который предложила Света в том, что используется таблица умножения.
Потренируемся.
Используя данные произведения, составьте всевозможные примеры, чтобы один из множителей был круглым числом.
8*4 3*7 5*9
Проверьте себя.
80*4, 8*40, 30*7, 3*70, 50*9, 5*90
Во всех данных произведениях есть двузначные круглые числа. А чем они отличаются? Сравните произведения. Разделите данные произведения на две группы.
Проверьте себя.
В первую группу можно выделить произведения, где первый множитель – круглое число. Например, 80*4, 30*7, 50*9.
Во вторую – произведения, где второй множитель – круглое число. Например, 8*40, 3*70, 5*90.
Как вы думаете, как найти произведение, если второй множитель – круглое число?
Конечно, надо применить переместительное свойство умножения: от перестановки множителей значение произведения не изменяется.
80*4=320 30*7=210 50*9=450 | 8*40=320 3*70=210 5*90=450 |
Подумайте, помогут ли получившиеся равенства найти значение частного.
20*4=80 60*7=420 30*9=270
80:4 420:7 270:9
Можно рассуждать так. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно значение произведения разделить на известный множитель. Значит, если 20*4=80, то 80:4=20.
Если 60*7=420, то 420:7=60
Если 30*9=270, то 270:9=30
А можно ли выполнить такое деление, используя таблицу умножения?
Выпишем из таблицы умножения равенства, которые нам помогут.
2*4=8
6*7=42
3*9=27
Зная равенства таблицы умножения, можно найти значения частных.
Попробуем объяснить.
80=8 дес.
8 дес:4=2 дес., а 2 дес.=20
Будем рассуждать по аналогии.
420:7
420=42 дес.
42 дес.:7=6 дес., а 6 дес.=60
270:9
270=27 дес.
27 дес.:9=3 дес., а 3 дес.=30
По данному равенству составьте примеры с круглыми десятками.
9*4=36
Проверьте себя.
90*4=360 40*9=360
360:4=90 360:9=40
Сегодня на уроке мы повторили таблицу умножения, свойства умножения и деления, познакомились с приемами умножения и деления для случаев вида 20*3, 3*20, 60:3, а также потренироваться в решении примеров по теме урока.
Признаки делимости на 2, 4, 8, 3, 9, 6, 5, 25, 10, 100, 1000, 11.
Признак делимости на 2. Число делится на 2, если его последняя цифра - ноль или делится на 2. Числа, делящиеся на два, называются чётными, не делящиеся на два – нечётными.
Признак делимости на 4. Число делится на 4, если две его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 4.
Признак делимости на 8. Число делится на 8, если три его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 8.
Признаки делимости на 3 и 9. Число делится на 3, если его сумма цифр делится на 3. Число делится на 9, если его сумма цифр делится на 9.
Признак делимости на 6. Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3.
Признак делимости на 5. Число делится на 5, если его последняя цифра - ноль или 5.
Признак делимости на 25. Число делится на 25, если две его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 25.
Признак делимости на 10. Число делится на 10, если его последняя цифра - ноль.
Признак делимости на 100. Число делится на 100, если две его последние цифры – нули.
Признак делимости на 1000. Число делится на 1000, если три его последние цифры – нули.
Признак делимости на 11. На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, делящееся на 11.
П р и м е р .
Число 378015 делится на 3, так как сумма его цифр равна: 3 + 7 + 8 + 0 + 1 + 5 = 24. Данное число делится на 5, так как его последняя цифра 5. Наконец, это число делится на 11, так как суммы его нечётных цифр: 3 + 8 + 1 = 12 и чётных цифр 7 + 0 + 5 = 12 равны.
Комментариев нет:
Отправить комментарий